解決編
今回は、数列｛aｎ｝が性質１によって完全に規定されている、という話です。
思いがけず長くなりました。
まず、性質１を振り返ります。
この性質を満たすものが、数列｛aｎ｝しかないということ。
それを証明するのが今回の目的になります。命題として書けば次のとおり。
「ユニーク」というのは数学方言のひとつで、「けったいな」という意味ではありません。
「ただひとつ」ということ。･･･気取ってますね。
突然、数列が｛bｎ｝と表されていますが、性質１と見比べれば、aをbに書き換えただけで、
同じ性質であることが分かると思います。
なぜ｛aｎ｝ではなく｛bｎ｝で、この命題を述べるのか少し説明します。
数列｛aｎ｝がただひとつ（ひととおり）であること。それは定義１からすぐに分かります。
問題２の「最後に残るカードの番号」は、どんな自然数ｎについても、
そのひとつのｎに対しては、ただひとつのはずですね。
しかし、その｛aｎ｝が “たまたま” 充たす性質１は、他の数列｛bｎ｝も充たしているかもしれない。
この命題の述べていることは、その疑いの否定です。
性質１を充たす数列はひとつしかありません。
さらに言えば、もし｛bｎ｝が性質１を充たすのなら直ちに、｛bｎ｝は｛aｎ｝であるということになります。
ということは、定理１が証明された暁には、｛aｎ｝に定義１とは別の定義をすることが可能です。
すなわち「性質１を充たす唯一の数列としての｛aｎ｝」という定義。
この定義を可能にするところが、定理１のオイシイところなのですが･･･少し、先走りました。
証明の前に、例を見ておきます。
ここは、問題２から離れ、性質１ありきで話をしているので、最後の不安も微妙です。
もし性質１自身が内部矛盾していれば，b18＝４という結果は無意味になります。
ところが、どっこい。僕たちは性質１を充たす数列の存在を、すでに知っています。
数列｛aｎ｝という実在する数列が充たす性質ならば、矛盾しているはずがありません。
というわけで、わざわざ別個に確かめるには及ばないのです。要らぬ心配でした。
例１では、たまたま取り上げたb18が性質１によって決定していることを説明しましたが、
定理１を証明するためには、これを全部のbnについて調べればいいわけです。
僕は例１を確かめた段階で、定理１の成立は当たり前だという感想を持ったのですが、
当たり前らしいことほど、意外と証明に骨が折れるものです。
しかも、証明したところで当たり前だという顔をされたりするので、なかなかやるせない。
それはさておき。
例１ですら、けっこう複雑な見掛けをしているので、すこし工夫しましょう。
複雑な定義に思えますが、一見複雑な定義をするのは、議論を単純にするためです。
それに、見掛けほど複雑というわけでもありません。
試しに、n=18に対して、その{nk(n)}とやらを計算してみます。
式に語らせてしまいました。
妙なカギカッコが紛らわしいですが、整数部分というのは小数点以下を切り捨てるということです。
なんとなく、もったいない感じがしますが、気のせいです。
それよりも、１８、９、４、２、１という、数字のならびに注目して下さい。
ここで、ピンと来て頂けると嬉しいけれど、
ピンと来なくったって僕はがっかりしません･･･とにかく、注目！ じっと見つめる･･･。
えー、ここだけの話。ヒントは例１です。･･･さて、ピンと来ました？
性質１を読み直してみると、次のとおりです。すなわち･･･
これをさらに、翻訳します。
この視点に立ち、数列{nk(n)}を絡めて例１を振り返ると、
およそ次のようになります。
ここまで来れば、定理１の証明まではあと一歩です。
次の補題を証明すれば、ほとんどおしまい。補題というのは定理を言うための補助定理です。
さっそく証明にかかりましょう。
本当はゼロを自然数に含める流儀もあるのですが、大した問題ではありません。
例２で見たように、nk(n)がゼロになるためには、
１になるところを通過しなければならない、ということです。
仕上げに、定理１の証明を大急ぎでやってしまいます。
定理１って何だったか、すっかり忘れてたりして･･･。大筋は例１’と同じです。
さて、これまでは序章に過ぎませんでした。
いよいよ次回、数列{an}の正体に迫ります！ ･･･ホントかなあ。
